Tapetes

Nlogonia é conhecida por sua indústria de tradicionais tapetes quadrados, que são produzidos apenas com dimensões inteiras, para todos os números inteiros positivos. Quer dizer, os tapetes são de dimensão 1 × 1, 2 × 2, 3 × 3, e assim por diante. João Tapetão, grande empresário do setor, está planejando o próximo carregamento para exportação, que deve ser de exatamente N tapetes. Os tapetes são sempre enrolados e colocados em um tubo, um após o outro. Por exemplo, para um carregamento de N = 4 tapetes de dimensões 2 × 2, 4 × 4, 6 × 6 e 3 × 3, será necessário um tubo de comprimento 2 + 4 + 6 + 3 = 15. A questão é que o preço do tapete é proporcional à sua área, de modo que quanto maior a soma das áreas dos tapetes, maior o lucro do Tapetão. No exemplo anterior, a soma das áreas é 2² + 4² + 6² + 3² = 65. Só que daria para lucrar mais, com o mesmo tubo de comprimento 15, se o carregamento fosse com quatro tapetes de dimensões 1 × 1, 4 × 4, 7 × 7 e 3 × 3, cuja soma das áreas dá 75. Será que daria para lucrar ainda mais?

O navio chegou e Tapetão precisa embarcar o carregamento. Há apenas um tubo de comprimento L e o carregamento deve conter exatamente N tapetes. Qual é a maior soma possível das áreas dos N tapetes que poderá ser transportada?